VÍDEO DE FUNDAMENTO DE LA PERSPECTIVA CABALLERA
La perspectiva caballera es la proyección oblicua y cilíndrica (hecha con paralelas) de una figura. Para una buena comprensión de la figura la colocamos de forma que una cara esté paralela (x, z) o coincidente con el plano de cuadro o del dibujo. De esta manera la cara paralela mantiene sus dimensiones y forma inalteradas (homotecia afín), mientras que la proyección de su eje “y” experimenta una reducción (a / b) lo que favorece una apariencia más real de la figura.
Véase que la sombra de rayos paralelos (solar) de la figura con una cara paralela al suelo es la perspectiva caballera de la figura pero con ampliación del tamaño -en este caso por estar el sol en el crepúsculo- en vez de reducción como se viene utilizando en caballera. Las demás caras del cubo: verde, azul, violeta, esto es, las que no son paralelas al plano del cuadro, son afines a su representación o proyección en perspectiva caballera.
Perspectiva caballera del cubo
Aquí observamos la perspectiva caballera del cubo con una cara en verdadera forma y la profundidad del eje y reducido en este caso al 50%. El ángulo se empieza a contar a partir del eje x hacia la derecha, en este caso particular se ha escogido 315º sexagesimales. La pieza por encima de 180º se observa como si se estuviera viendo desde abajo.
La perspectiva caballera del cubo con una reducción de ¾ sobre el eje y (OA se reduce a OB en relación de 4 a 3).
Escalas de reducción: http://proporcion-escala-semejanza-homotecia.blogspot.com.es/
Otro ejemplo del fundamento cambiando el punto de vista:
En el dibujo vemos en las tres primeras perspectivas -borde superior izquierdo- la perspectiva caballera de cubos con reducciones distintas a 135º.
La perspectiva caballera de una recta m horizontal con sus 3 proyecciones m1 m2 m3.
Otro ejemplo del fundamento cambiando el punto de vista:
A la izda. superior en diédrico con sus proyecciones oblicuas en planta y alzado y luego su proyección bajo distintos ptos. de vista, en el inferior izda. casi coincidentes el objeto y su proyección oblicua.
En el dibujo vemos en las tres primeras perspectivas -borde superior izquierdo- la perspectiva caballera de cubos con reducciones distintas a 135º.
Debajo observamos las mismas reducciones para las perspectivas del cubo con un ángulo a 315º y en vertical -centro- los mismos cubos con igual reducción vistos bajo un ángulo de 225º .
A la derecha en el cuadro rojo podemos observar las mismas perspectivas de los cubos pero ahora la cara que aparece en verdadera forma es la horizontal. Siempre hemos hecho todas las perspectivas exactamente iguales, eso quiere decir que realmente solo hay tres cubos distintos pero la colocación de los mismos y sus ejes respectivos definen no sólo distintas perspectivas, sino distintos ángulos.
La perspectiva caballera de una recta m horizontal con sus 3 proyecciones m1 m2 m3.
Tipos de rectas:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/elementos-punto-recta-y-plano.html
La perspectiva caballera de un plano oblicuo con sus 3 trazas p1 p2 p3.
Las trazas siempre se cortan en un eje, con lo que si nos dan p. ej., p1 y p3, basta con prolongar p1 hasta que corte al eje x, en el punto de intersección se pasa una recta por la intersección de p3-z y obtenemos p2.
La perspectiva caballera de un plano oblicuo con sus 3 trazas p1 p2 p3.
Las trazas siempre se cortan en un eje, con lo que si nos dan p. ej., p1 y p3, basta con prolongar p1 hasta que corte al eje x, en el punto de intersección se pasa una recta por la intersección de p3-z y obtenemos p2.
Tipos de planos:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/elementos-punto-recta-y-plano.html
Dos planos oblicuos z p en perspectiva caballera con su recta de intersección I.
Proyección del pentágono regular sobre el plano XOY con la reducción b/a sobre el eje y con un ángulo de 135º.
La perspectiva caballera de un cuadrado ABCD sobre el plano XOY con reducción ¾.
Paraboloide hiperbólico en perspectiva caballera.
Dos planos oblicuos z p en perspectiva caballera con su recta de intersección I.
Proyección del pentágono regular sobre el plano XOY con la reducción b/a sobre el eje y con un ángulo de 135º.
La perspectiva caballera de un cuadrado ABCD sobre el plano XOY con reducción ¾.
Paraboloide hiperbólico en perspectiva caballera.
La perspectiva caballera de un cilindro y un cono. El hecho de que la perspectiva caballera sea una proyección oblicua hace que las figuras salgan poco reales: el eje mayor de la elipse m (círculo en perspectiva) aparece con cierto ángulo respecto a la horizontal, cosa que no sucede en nuestra percepción visual que la reconoce siempre horizontal.
Consultar superficies radiadas:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/curvas-y-superficies.html
Pirámide con una cara apoyada en el plano YOZ. La longitud real del círculo de dimensión diametral OP, que inscribe la base de la figura, se reduce a la longitud OB.
BP determina por tanto la dirección de todos los puntos que se reducen sobre el eje y (AB).
La perspectiva caballera de un prisma recto de base hexagonal regular siguiendo los parámetros del ejercicio anterior.
Pieza en perspectiva caballera construida a partir de sus proyecciones diédricas en planta y alzado. El segmento O2 se reduce a OA, longitud que se traslada al eje Z a la dimensión 1. (Por convenio la reducción se aplica sobre el eje y que es el que bascula, en el dibujo z y están intercambiados.)
Pieza Con reducción ½. Para obtener la perspectiva de un punto cualquiera A, se proyecta su proyección A2 en la dirección del eje y A1 en la dirección de reducción 2 es a 1. La intersección de las dos direcciones A2-A y A1-A es la perspectiva del punto.
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Superficies de revolución
Perspectiva cabellera de un toro (un donuts)
Construimos dos romboides que corresponden en perspectiva a dos cuadrados, en ellos inscribimos dos circunferencias que aparecen en la perspectiva como elipses verdes. Si giramos una de éstas elipses alrededor del eje de revolución K-L1, obtenemos la superficie amarilla que se llama toro.
Consultar la página de superficies de revolución:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/curvas-y-superficies.html
Una vez que hemos dibujado una de las elipses verdes, por ejemplo la de la izquierda, hacemos por el eje de revolución K-K1 líneas horizontales por distintos puntos (l1-K1-K-J1-L), preferentemente a distancias equidistantes, para que salga más homogénea la superficie.
Ésas líneas horizontales, de las que aparecen tres en el centro de color rojo y las tangentes a las elipses en color negro, cortan a las elipses en distintos puntos.
Por ejemplo la recta horizontal que corta al eje de revolución en K1, Corta a la elipse de la izquierda en los puntos D-C1.
Hacemos centro en K1 con un radio igual a K1-D, construyendo la circunferencia interior del toro. A continuación tomamos centro otra vez en K1 y tomando como radio K1-C1 hacemos una segunda circunferencia de revolución correspondiente a la parte exterior de la superficie.
Procedemos igual con las demás circunferencias, por ejemplo centro en K y radio Kl hacemos la circunferencia interior y centro en K y radio KI hacemos la circunferencia exterior.
El conjunto de todas las circunferencias tanto exteriores (las que están en la parte lateral de la superficie) como las interiores (correspondientes al hueco de la figura) definen la superficie y su contorno, que es la curva envolvente de todas estas circunferencias.
No se ha dibujado el contorno envolvente ya que el número de circunferencias dibujadas aproximan bastante el mismo.
Escocia
Escocia es la superficie de revolución que queda de un toro cuando sacamos su parte exterior, quedándonos exclusivamente con la zona que rodea al agujero. Por tanto la construcción está explicada en el ejercicio anterior, en el eje de revolución verde tomamos puntos que son los centros de las circunferencias cuyos diámetros horizontales interceptan en sus extremos a los puntos de las circunferencias en perspectiva, en este caso elipses de color magenta.
La parte exterior de la superficie se ha pintado en tonos amarillos y azules de forma alterna para que se distinga mejor, mientras que la parte interna aparece también pintada en color azul obscuro y naranja alternativamente.
Esfera
Para dibujar la esfera en perspectiva cabellera hacemos el meridiano o circunferencia mayor que pasa por el centro de la esfera T1 (como el Ecuador en la esfera terrestre), que por estar en el plano ADB aparece en el cuadrilátero ABCD en perspectiva oblicua con forma de romboide con una elipse verde inscrita.
A continuación dividimos el diámetro ON en partes iguales para que salgan los anillos equidistantes que definen la superficie y por cada uno de los puntos O-Q1-R1_S1, etc., hacemos rectas horizontales que interceptan a la elipse verde en puntos Z1-C!-A2, etc., que corresponden a los extremos de cada radio de la circunferencia que vamos a trazar tomando como centro los puntos descritos anteriormente sobre el eje de revolución ON.
Por ejemplo, por Q1 (centro) hacemos una circunferencia de radio Q1-Z1.
Por R1 (siguiente centro)hacemos otra circunferencia de radio R1-Z1. Se procede de igual forma con los demás puntos del eje de revolución.
El conjunto de todas las circunferencias delimitan un contorno también elíptico que define el contorno de la esfera, que en perspectiva caballera es siempre una elipse, ya que este sistema de representación es una proyección oblicua mediante paralelas y al proyectar de forma oblicua una esfera sobre un plano siempre se transforma en una elipse, por contraposición a la axonometría ortogonal, que proyecta perpendicularmente la esfera sobre un plano y por tanto su contorno es siempre una circunferencia.
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La perspectiva caballera de una pirámide truncada de base cuadrada a reducción 3/5 y ángulo 45º. El ángulo en la perspectiva caballera siempre se toma en sentido de giro hacia la derecha y empezando a contar a partir del eje x.
La misma figura con una reducción de 2/3 y ángulo de reducción sobre el eje y de 2/3.
Si el punto A está localizado a cierta altura respecto al plano horizontal xy , una vez obtenida la perspectiva de su proyección A’ se levanta una vertical a partir de este punto con la cota en verdadera magnitud, que es la que corresponde al alzado en A2. La intersección de la dirección A-A2 (la del eje y) y de la vertical por A’ localiza al punto A.
La perspectiva caballera de dos prismas superpuestos con una reducción de 2/3 y ángulo de 135º. La longitud MO se reduce a PO sobre el eje y abatido, con lo que en la perspectiva M se transforma en P’. La dirección MP es la que define la reducción sobre el eje y y todos los puntos la siguen, así, N se transforma en N’, etc.
En la figura podemos observar la perspectiva caballera de un cilindro con sus dos proyecciones en planta y alzado, como el ángulo XOY’ es mayor de 180°, en este caso son 215°, la figura se ve como si la observáramos desde abajo. La reducción que se ha aplicado es de un medio.
En la prolongación del eje Z vemos como las dimensiones del cuadrado en planta se proyectan sobre el mismo generando el segmento a, a continuación este segmento se proyecta sobre el eje y’, con la reducción correspondiente. Podemos observar en la planta del cuadrado que por los vértices del mismo hemos hecho paralelas a estas direcciones -en color verde- para obtener sobre la cara XOY’ la proyección en perspectiva caballera de la planta.
En el dibujo observamos la forma de una casa en perspectiva caballera con el ángulo De 135° entre los dos ejes X e Y. El hecho de que la reducción sea ¾, sólo aplicable sobre el eje Y, supone que el segmento a aparece en el dibujo a ¾ de su dimensión real. Tenemos por contra que sobre los otros dos ejes, el horizontal y vertical, las medidas aparecen en verdadera magnitud, sin reducción alguna,- si el dibujo está hecho a escala uno partido uno.
En el dibujo observamos un cubo en perspectiva caballera con la reducción correspondiente y con un ángulo XOY’ de 135°. Se han calculado las sombras que proyecta sobre el suelo y las propias de la figura. Como los rayos del sol son paralelos, en color verde, estamos hablando de luz solar. Para ello se ha indicando la dirección norte-sur, como la dirección de la sombra del segmento vertical es n’, tenemos que el acimut es a, ya que es el ángulo que forma la dirección de la sombra de una vertical y la línea norte-sur hacia la derecha. Mientras que la altitud a la que está el sol, o sea el ángulo que forma respecto a la línea del horizonte es h.
http://calculo-de-sombras.blogspot.com/
http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/
http://sombras-en-perspectiva-conica.blogspot.com/
http://reloj-de-sol.blogspot.com/
En el dibujo podemos observar la perspectiva caballera de una pirámide con un ángulo de 45°, como siempre contabilizado a partir del eje X y en el sentido de las agujas del reloj. Como podemos observar también el segmento b en planta correspondiente al lado de la base de la figura en color ocre se transforma en la perspectiva caballera en un segmento reducido a un medio, ya que hemos hecho centro en el origen de coordenadas de los ejes y trasladado el punto medio A mediante un giro sobre el eje y. La altura de la figura está en verdadera magnitud, ya que sobre el eje Z no se aplica reducción alguna.
La perspectiva militar es un caso particular de la perspectiva caballera en la que la planta de la figura es la que aparece en verdadera forma. Con ello podemos coger el plano de una casa y desplazarlo en una dirección vertical hasta obtener el techo o forjado del piso. Uniendo mediante líneas verticales las dos formas planas correspondientes al suelo y al techo obtenemos la perspectiva militar de la figura. El suelo y el techo de la casa están relacionados en una traslación u homotecia afín.
Perspectiva militar del cubo - GeoGebra Hoja Dinámica
P. caballera de octaedro regular - GeoGebra Hoja Dinámica
Pirámide con una cara apoyada en el plano YOZ. La longitud real del círculo de dimensión diametral OP, que inscribe la base de la figura, se reduce a la longitud OB.
BP determina por tanto la dirección de todos los puntos que se reducen sobre el eje y (AB).
La perspectiva caballera de un prisma recto de base hexagonal regular siguiendo los parámetros del ejercicio anterior.
Pieza en perspectiva caballera construida a partir de sus proyecciones diédricas en planta y alzado. El segmento O2 se reduce a OA, longitud que se traslada al eje Z a la dimensión 1. (Por convenio la reducción se aplica sobre el eje y que es el que bascula, en el dibujo z y están intercambiados.)
Pieza Con reducción ½. Para obtener la perspectiva de un punto cualquiera A, se proyecta su proyección A2 en la dirección del eje y A1 en la dirección de reducción 2 es a 1. La intersección de las dos direcciones A2-A y A1-A es la perspectiva del punto.
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Superficies de revolución
Perspectiva cabellera de un toro (un donuts)
Construimos dos romboides que corresponden en perspectiva a dos cuadrados, en ellos inscribimos dos circunferencias que aparecen en la perspectiva como elipses verdes. Si giramos una de éstas elipses alrededor del eje de revolución K-L1, obtenemos la superficie amarilla que se llama toro.
Consultar la página de superficies de revolución:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/curvas-y-superficies.html
Una vez que hemos dibujado una de las elipses verdes, por ejemplo la de la izquierda, hacemos por el eje de revolución K-K1 líneas horizontales por distintos puntos (l1-K1-K-J1-L), preferentemente a distancias equidistantes, para que salga más homogénea la superficie.
Ésas líneas horizontales, de las que aparecen tres en el centro de color rojo y las tangentes a las elipses en color negro, cortan a las elipses en distintos puntos.
Por ejemplo la recta horizontal que corta al eje de revolución en K1, Corta a la elipse de la izquierda en los puntos D-C1.
Hacemos centro en K1 con un radio igual a K1-D, construyendo la circunferencia interior del toro. A continuación tomamos centro otra vez en K1 y tomando como radio K1-C1 hacemos una segunda circunferencia de revolución correspondiente a la parte exterior de la superficie.
Procedemos igual con las demás circunferencias, por ejemplo centro en K y radio Kl hacemos la circunferencia interior y centro en K y radio KI hacemos la circunferencia exterior.
El conjunto de todas las circunferencias tanto exteriores (las que están en la parte lateral de la superficie) como las interiores (correspondientes al hueco de la figura) definen la superficie y su contorno, que es la curva envolvente de todas estas circunferencias.
No se ha dibujado el contorno envolvente ya que el número de circunferencias dibujadas aproximan bastante el mismo.
Escocia
Escocia es la superficie de revolución que queda de un toro cuando sacamos su parte exterior, quedándonos exclusivamente con la zona que rodea al agujero. Por tanto la construcción está explicada en el ejercicio anterior, en el eje de revolución verde tomamos puntos que son los centros de las circunferencias cuyos diámetros horizontales interceptan en sus extremos a los puntos de las circunferencias en perspectiva, en este caso elipses de color magenta.
La parte exterior de la superficie se ha pintado en tonos amarillos y azules de forma alterna para que se distinga mejor, mientras que la parte interna aparece también pintada en color azul obscuro y naranja alternativamente.
Esfera
Para dibujar la esfera en perspectiva cabellera hacemos el meridiano o circunferencia mayor que pasa por el centro de la esfera T1 (como el Ecuador en la esfera terrestre), que por estar en el plano ADB aparece en el cuadrilátero ABCD en perspectiva oblicua con forma de romboide con una elipse verde inscrita.
A continuación dividimos el diámetro ON en partes iguales para que salgan los anillos equidistantes que definen la superficie y por cada uno de los puntos O-Q1-R1_S1, etc., hacemos rectas horizontales que interceptan a la elipse verde en puntos Z1-C!-A2, etc., que corresponden a los extremos de cada radio de la circunferencia que vamos a trazar tomando como centro los puntos descritos anteriormente sobre el eje de revolución ON.
Por ejemplo, por Q1 (centro) hacemos una circunferencia de radio Q1-Z1.
Por R1 (siguiente centro)hacemos otra circunferencia de radio R1-Z1. Se procede de igual forma con los demás puntos del eje de revolución.
El conjunto de todas las circunferencias delimitan un contorno también elíptico que define el contorno de la esfera, que en perspectiva caballera es siempre una elipse, ya que este sistema de representación es una proyección oblicua mediante paralelas y al proyectar de forma oblicua una esfera sobre un plano siempre se transforma en una elipse, por contraposición a la axonometría ortogonal, que proyecta perpendicularmente la esfera sobre un plano y por tanto su contorno es siempre una circunferencia.
La perspectiva caballera de una pirámide truncada de base cuadrada a reducción 3/5 y ángulo 45º. El ángulo en la perspectiva caballera siempre se toma en sentido de giro hacia la derecha y empezando a contar a partir del eje x.
La misma figura con una reducción de 2/3 y ángulo de reducción sobre el eje y de 2/3.
Si el punto A está localizado a cierta altura respecto al plano horizontal xy , una vez obtenida la perspectiva de su proyección A’ se levanta una vertical a partir de este punto con la cota en verdadera magnitud, que es la que corresponde al alzado en A2. La intersección de la dirección A-A2 (la del eje y) y de la vertical por A’ localiza al punto A.
La perspectiva caballera de dos prismas superpuestos con una reducción de 2/3 y ángulo de 135º. La longitud MO se reduce a PO sobre el eje y abatido, con lo que en la perspectiva M se transforma en P’. La dirección MP es la que define la reducción sobre el eje y y todos los puntos la siguen, así, N se transforma en N’, etc.
En la figura podemos observar la perspectiva caballera de un cilindro con sus dos proyecciones en planta y alzado, como el ángulo XOY’ es mayor de 180°, en este caso son 215°, la figura se ve como si la observáramos desde abajo. La reducción que se ha aplicado es de un medio.
En la prolongación del eje Z vemos como las dimensiones del cuadrado en planta se proyectan sobre el mismo generando el segmento a, a continuación este segmento se proyecta sobre el eje y’, con la reducción correspondiente. Podemos observar en la planta del cuadrado que por los vértices del mismo hemos hecho paralelas a estas direcciones -en color verde- para obtener sobre la cara XOY’ la proyección en perspectiva caballera de la planta.
En el dibujo observamos la forma de una casa en perspectiva caballera con el ángulo De 135° entre los dos ejes X e Y. El hecho de que la reducción sea ¾, sólo aplicable sobre el eje Y, supone que el segmento a aparece en el dibujo a ¾ de su dimensión real. Tenemos por contra que sobre los otros dos ejes, el horizontal y vertical, las medidas aparecen en verdadera magnitud, sin reducción alguna,- si el dibujo está hecho a escala uno partido uno.
En el dibujo observamos un cubo en perspectiva caballera con la reducción correspondiente y con un ángulo XOY’ de 135°. Se han calculado las sombras que proyecta sobre el suelo y las propias de la figura. Como los rayos del sol son paralelos, en color verde, estamos hablando de luz solar. Para ello se ha indicando la dirección norte-sur, como la dirección de la sombra del segmento vertical es n’, tenemos que el acimut es a, ya que es el ángulo que forma la dirección de la sombra de una vertical y la línea norte-sur hacia la derecha. Mientras que la altitud a la que está el sol, o sea el ángulo que forma respecto a la línea del horizonte es h.
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http://calculo-de-reflejos.blogspot.com/
http://sombras-en-perspectiva-conica.blogspot.com/
http://reloj-de-sol.blogspot.com/
En el dibujo podemos observar la perspectiva caballera de una pirámide con un ángulo de 45°, como siempre contabilizado a partir del eje X y en el sentido de las agujas del reloj. Como podemos observar también el segmento b en planta correspondiente al lado de la base de la figura en color ocre se transforma en la perspectiva caballera en un segmento reducido a un medio, ya que hemos hecho centro en el origen de coordenadas de los ejes y trasladado el punto medio A mediante un giro sobre el eje y. La altura de la figura está en verdadera magnitud, ya que sobre el eje Z no se aplica reducción alguna.
La perspectiva militar es un caso particular de la perspectiva caballera en la que la planta de la figura es la que aparece en verdadera forma. Con ello podemos coger el plano de una casa y desplazarlo en una dirección vertical hasta obtener el techo o forjado del piso. Uniendo mediante líneas verticales las dos formas planas correspondientes al suelo y al techo obtenemos la perspectiva militar de la figura. El suelo y el techo de la casa están relacionados en una traslación u homotecia afín.
Perspectiva militar del cubo
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P. caballera de octaedro regularEn la figura observamos un octaedro regular inscrito en un cubo.Octaedro en cubo: http://inscripcionpoliedrica.blogspot.com.es/ Los puntos medios de cada cara definen la figura formada por dos pirámides unidas por la base de manera que todos los lados de la misma son triángulos equiláteros. El ángulo que forman las líneas AB-AC es el ángulo que determina la perspectiva caballera. Si B está sobre la circunferencia roja estamos hablando de una reducción de un tercio, si pasa a estar en la circunferencia verde la reducción será de 2/3, si está en la circunferencia azul, las figuras no experimentan reducción. Si está sobre la circunferencia violeta, en vez de haber reducción hay ampliación, por lo que la figura no es nada real, no parece un cubo. En el caso de que esté sobre la circunferencia violeta estaremos hablando de una ampliación a 4/3. Si está sobre la circunferencia amarilla la ampliación será de 5/3. En la figura representada aparece con una reducción a un tercio (el punto está sobre la circunferencia roja), que significa que si el lado del cubo mide tres unidades, el que está oblicuo se ha reducido a una unidad.  Icosaedro y dodecaedro en perspectiva caballera: http://dodecaedro-en-icosaedro.blogspot.com.es/ Perspectiva caballera
Fundamento de la perspectiva caballera
http://youtu.be/CCbogB9WL60 Punto, recta y plano en perspectiva caballera http://youtu.be/X66vPgjPdGw Piezas: Pieza de 4 semiconos http://youtu.be/RKDREVSoh-8 Superfices radiadas: Cono XOY=135º, Ry=1/2 y de cilindro, XOY=200º, Ry=3/4 http://youtu.be/4jt_mk0njsY Cono sobre un cilindro con sus sombras http://youtu.be/5pqOeReDuWU http://youtu.be/ElAHqAYGQRQ Pirámide de base pentagonal regular http://youtu.be/b1qyMWamUwM Antiprismas: Antiprisma cuadrangular http://youtu.be/YemaxKw6Hbc Superficies de revolución: Esfera XOY= 240°, reducción 2/3 https://www.youtube.com/watch?v=265FObTyf1c Esfera con un ángulo de 90°. Reducción:1/ 1,7. El caso de las superficies de revolución. http://youtu.be/sTcQBpKSwro Toro http://youtu.be/GHaRcL0bs5w Poliedros regulares: Icosaedro XOY= 135º, Ry = 4/5 http://youtu.be/4_yLtj5Uadk Icosaedro XOY= 45º, Ry = 3/4 http://youtu.be/y08XgmRrEjE Octaedro regular en tetraedro regular en cubo http://youtu.be/lhPYyPJ2hhs Dodecaedro en icosaedro http://youtu.be/MfZIfZ_Gu5Y Poliedros arquimedianos: Octaedro truncado (poliedro de Kelvin). Poliedro arquimediano. XOY=45º, Ry=1/2 http://youtu.be/5cFVAOG4L3I Octaedro truncado. Otro método para dibujarlo. XOY=221º, Ry=3/5 http://youtu.be/44cZXYAf7qo Cuboctaedro. Poliedro arquimediano. XOY=150º, Ry=2/3 http://youtu.be/CwHZd_j5AZ4 Rombicuboctaedro en perspectiva caballera. XOY=150º, Ry=3/4 http://youtu.be/DAAsVRJvmCw Rombododecaedro en cuboctaedro http://youtu.be/hu5j0JUrf8I Tetraedro truncado. Poliedro arquimediano. http://youtu.be/HVuNyiKWVqg Poliedros compuestos: Estrella octangular http://youtu.be/HAmtd-0vuWs Poliedro compuesto de cubo y octaedro regular en caballera http://youtu.be/Gc96ejIv_xQ Bóvedas: Bóveda de arista y en rincón de claustro. XOY=135º, Ry=1/2 http://youtu.be/zwa7lMtFKtM Bóveda sobre pechinas http://youtu.be/LGxGC_6ZdQY Superficies regladas alabeadas: Paraboloide hiperbólico (1ª parte) http://youtu.be/GQMZ2KRCC_0 Paraboloide hiperbólico (2ª parte) http://youtu.be/uUI6W22v-d8
Cilindroide en perspectiva caballera. Ry =1/2, XOY= 45º
Relaciones Planos paralelos http://youtu.be/xkuSgGgHgb0 Ángulo entre 2 rectas http://youtu.be/hphCK3BYcPc Distancia entre 2 planos http://youtu.be/paxi7maM-w4 |
